Une connexion entre accords est optimale si la somme des intervalles dans enchainements de voix est réduite à un minimum. La théorie de base de l’harmonie décrit comment connecter les accords avec de petits intervalles, note sensible, lignes en demis tons et, si possible, notes tenues. Ces règles sont particulièrement en usage dans la composition du choral.

Les pianistes, particulièrement les improvisateurs, savent comment minimiser les déplacements de leurs doigts lorsqu’ils se déplacent d’un accord à l’autre. Ceci pourrait être formulé comme une recherche de distances minimales. De la même façon, nous pouvons considérer que, à certains moments du choral, nous désirons minimiser les intervalles dans la conduite des voix. Si nous acceptons que l’énergie dépensée par un chanteur, lors d’un saut de voix, est proportionnelle à la longueur de l’intervalle, alors la connexion optimale d’accords devient équivalente à un problème de minimisation de ressources sous contraintes.

Les compositeurs ont l’habitude de connecter des 3-accords et des 4-accords (triades ou tétrades) dans le système tempéré à 12 tons, dit Z12. Nous avons trouvé intéressant de généraliser cette procédure à des accords de toutes tailles, des p-accords, sur un système de division à n intervalles, Zn. Ceci est donc une tentative de généraliser les formules de l’harmonie traditionnelle. Considérant qu’une formule de progression d’accords connectés comme I7-IIm7-V7-I7 est d’usage courant sur Z12, nous nous demandons pourquoi, et nous tentons de savoir si des formules analogues peuvent être trouvées entre accords de différentes tailles p, sur différents Zn.

Dans notre étude, le procédé de connexion d’accords est comme suit :

Connexion d’accords de même taille, par paires.
Trouver le chemin le plus court entre les séquences d’accords connectés par paires.
Pour connecter les accords par paires, nous utilisons et comparons trois différentes méthodes : (i) L’énumération exhaustive; (ii) La recherche par assignation dans les matrices de transition (l’algorithme Hongrois); (iii) La recherche en graphe, règle profondeur d’abord.

Pour la recherche du chemin le plus court entre sequence d’accords nous utilisons des algorithmes du type Voyageur de Commerce. Pour de petits accords et sur des systèmes Zn de divisions de petites tailles, l’énumération exhaustive (i) et les deux méthodes de recherche (ii) et (iii) ont été utilisées. Leurs résultats ont été comparés, ce qui nous a permis de vérifier les algorithmes. Ces derniers ont ensuite été utilisés pour des systèmes de p-accords et de divisions Zn de plus grande taille, là où l’énumération exhaustive n’est plus possible.

Recherche opérationnelle – Optimisation combinatoire

Avec la participation de Christoph Dürr (LIP6, CNRS/Université Pierre et Marie Curie), Philippe Esling (Department of Genetics and Evolution, Université de Genève, Suisse), Daniel Schell et Ola Rinta-Koski.